Nuevos resultados de control para algunos problemas parabólicos acoplados no linealesControlabilidad y controles insensibilizantes

Abstract

En la presente Memoria se analizan diversos problemas de controlabilidad relacionados con sistemas parabólicos acoplados no lineales. El objetivo principal es aportar nuevos resultados de controlabilidad cuando se ejerce un control distribuido que actúa en una única ecuación del sistema a través de un abierto arbitrariamente pequeño contenido en el dominio ... . El análisis está centrado esencialmente en el estudio de la controlabilidad exacta a cero (y aproximada) de sistemas de dos ecuaciones del calor no lineales acopladas de distinta forma, completadas con condiciones de contorno diversas, cuando hay un único control. Este problema es más complejo que el problema, ya en sí difícil, de controlabilidad nula para la ecuación del calor escalar puesto que, incluso en el caso lineal, surgen dificultades adicionales que provienen del acoplamiento de las dos ecuaciones. En esta Memoria se retoma la problemática del caso escalar, se revisan las técnicas empleadas hasta la fecha y se desarrolla una nueva estrategia que permite abordar el estudio de la controlabilidad nula de sistemas parabólicos acoplados superlineales. Uno de los problemas que se abordan extensamente en la Memoria es la existencia de los llamados controles insensibilizantes, introducido por J.-L. Lions. Este problema se puede reformular como un problema de controlabilidad nula para un sistema en cascada en el que el control no aparece en la ecuación que queremos conducir a cero, sino que actúa indirectamente sobre ella a través de la solución de otra ecuación de naturaleza semejante. Se analizan asimismo las propiedades de controlabilidad de sistemas parabólicos no lineales fuertemente acoplados, controlando de nuevo sólo una de las ecuaciones. Un ejemplo significativo es el llamado sistema no lineal de campo de fases. La Memoria está estructurada en cuatro capítulos, tras una introducción. En el primer Capítulo se obtienen las estimaciones globales de tipo Carleman que se precisan para probar los resultados de controlabilidad de sistemas parabólicos acoplados que se presentan en los capítulos siguientes. En el Capítulo 2 se recogen nuevos resultados de existencia de controles insensibilizantes para algunos sistemas parabólicos lineales y sublineales. El Capítulo 3 de la Memoria está dedicado a analizar la existencia de controles insensibilizantes para una ecuación del calor semilineal cuando se consideran términos no lineales con determinado crecimiento superlineal en el infinito. Se muestra asimismo un resultado de insensibilización de carácter negativo para ciertas no linealidades con crecimiento superlineal en el infinito. El cuarto y último capítulo de la Memoria se dedica al estudio de las propiedades de controlabilidad del sistema no lineal de campo de fases y otros problemas parabólicos no lineales acoplados más generales.