Análisis asintótico y homogeneización de ecuaciones en derivadas parciales

Resumen

En esta Tesis Doctoral se presentan algunos resultados sobre tres temas: A,- La homogeneización de ecuaciones elípticas en medios con estructura periódica rápidamente oscilante. B,- El límite de las aproximaciones en diferencias finitas de ecuaciones elípticas de coeficientes fuertemente oscilantes. C,- El comportamiento asintótico de las soluciones de sistemas hiperbólicos relajados cuando el tiempo tiende a infinito. Con los resultados de los dos primeros se pretende dar respuestas a las siguientes cuestiones: 1,- Caracterización del problema homogeneizado límite, i.e., de las propiedades efectivas del medio homogeneizado. 2,- Análisis riguroso del sentido o topología en el que se produce la convergencia del medio heterogéneo al medio homogéneo. 3,- Cálculo de los términos correctores y análisis riguroso de la convergencia de estos términos con la respuesta del medio heterogéneo. 4,- Utilización de estos resultados analíticos para el desarrollo de métodos numéricos de bajo coste computacional y eficientes para el cálculo de las respuestas del medio fuertemente heterogéneo. La herramienta fundamental para obtener estos resultados son las Ondas de Bloch. Estas son una familia de autofunciones asociadas a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos que permiten una descomposición de los espacios de funciones cuadrado medibles. Con respecto al estudio del sistema hiperbólico relajado, se demuestra la existencia de soluciones para datos iniciales pequeños y resultados de explosión de la solución en tiempo finito cuando los datos iniciales son suficientemente grandes. En el caso de las soluciones globales, se obtienen estimaciones de su decaimiento gracias a descomponer mediante análisis de Fourier y, finalmente, tras un rescalamiento de las soluciones y resultados de convergencia, se demuestra que las soluciones se comportan como la solución fundamental de la ecuación d