Homotopía racional del espacio de funciones

Resumen

El objetivo de la presente Tesis es comprender el comportamiento racional de ciertas construcciones relacionadas con los espacios de funciones libres y basadas, La herramienta que constituye el punto de partida de este trabajo es el modelo para el espacio de funciones desarrollado por Beown y Szczarba haciendo uso del funtor de realización de Bousfield-Gugenheim. A partir de aquí se desarrollan modelos para las aplicaciones evaluación, la evaluación en el punto base, la aplicación inducida entre dos espacios de funciones por otra, y la inclusión de un componente en el espacio total, esta última partiendo restringir todas las anteriores a un componente particular. Una vez desarrolladas estas herramientas algebraicas se estudian los grupos de homotopía racional de las componentes del espacio de funciones en términos de derivaciones relativas a un morfismo, generalizando resultados de Lupton y Smsith y como aplicación, métodos para trabajar con grupos de Gottlieb, entre otros. A continuación se da una descripción completa del álgebra de Lie en homotopía de las componentes del espacio de funciones, tanto libres como basadas, haciendo uso de las derivaciones relativas, obteniendo como Corolario un isomorfismo entre homotopía racional de la componente de la constante y el producto tensorial de la cohomología de X y la homotopía de Y, generalizando un resultado conocido de Vigué en el que prueba esto mismo en el caso en que la dimensión de X es menor que la conectividad de y de tal forma que el espacio de funciones basado escindan como un producto de espacios de Eilenberg Mac-Lane, racionalmente.