Application of a topological derivative based inversion method to infrared thermography damage detection and electromagnetic imaging

Resumen

Cualquier material, por puro que sea, contiene microgrietas no detectables. En muchos materiales, cuando están sometidos a ciclos de fatiga, estas microgrietas crecen y se agrupan dando lugar a grietas de un tamaño detectable. Si el proceso continua las grietas crecen hasta un tamaño crítico en el cual se produce la rotura catastrófica de la estructura. Esto podría ocurrir en las alas de un avión por ejemplo. Para evitarlo, conociendo la velocidad de crecimiento de las grietas en ese material, se programan inspecciones periódicas de modo que ninguna grieta pueda pasar de un tamaño indetectable a un tamaño crítico sin haber sido detectada. Estas inspecciones consisten en ensayos no destructivos, los cuales en la mayoría de los casos requieren tener al aeronave parada es decir, sin poder rentabilizarla. Actualmente el principal método de detección consiste en el ensayo por ultrasonidos. En este método un palpador emite un pulso de sonido y mide el tiempo que tarda en recibir su eco. Si el eco se recibe antes de lo esperado se deduce la presencia de discontinuidades en el interior de la placa, es decir grietas. Aunque es altamente sensible y robusto, este método tiene la desventaja de que el área que se puede ensayar al mismo tiempo es muy pequeña, por lo que se estima que ensayar un metro cuadrado de placa requiere aproximadamente una hora. Por este motivo existe un gran interés en el desarrollo de técnicas de ensayos no destructivos que permitan caracterizar la presencia de grietas y su tamaño de una manera rápida, robusta, y a poder ser barata. En este sentido, la inspección por termografía infrarroja es una técnica muy prometedora. En ella la pieza (usaremos una placa plana como ejemplo) es calentada activamente por algún medio y la distribución de temperaturas en una de sus caras es medida por medio de una cámara infrarroja. Puesto que la distribución de temperaturas dependerá de la presencia o no de defectos, de su posición, tamaño, etc, se plantea la posibilidad de intentar realizar el proceso inverso, es decir, deducir los la posición de los defectos a partir de la distribución de temperaturas. Si esto fuese posible, el proceso de detección de grietas se agilizaría altamente pues la termografía infrarroja obtiene una imagen de toda una cara de la placa al mismo tiempo. Desafortunadamente la ecuación del calor no es tan sensible a discontinuidades como lo son los ultrasonidos y la precisión de una cámara termográfica, en comparación con lo que se pretende medir, es mucho menor que la de un palpador de ultrasonidos. Por este motivo, salvo casos excepcionales, la presencia de defectos no es aparente a simple vista en una termografía y es necesario recurrir a métodos de procesado mas avanzados. La idea original de esta tesis era entonces estudiar la aplicabilidad de un método de resolución del problemas inversos basado en un operador matemático conocido como derivada topológica. El concepto de derivada topológica es relativamente reciente. Es un operador matemático que da una idea de la sensibilidad de un funcional de forma (una cantidad que depende de la forma de algo) a realizar agujeros en esa forma. La idea tras el método consiste en definir un funcional de forma que mide como de diferentes serían la termografía que se obtendría con una placa sana (es decir, sin defectos) y la termografía real que se corresponde a una placa defectuosa. La derivada topológica de este funcional nos permite conocer qué puntos de la placa sana son los que son más eficientes en reducir dicho funcional, es decir, aquellos puntos en los cuales realizar un agujero en la placa sana implica que la correspondiente termografía se parezca más a la termografía real. Asumiendo que los puntos que generan una termografía mas parecida a la real son los puntos que se corresponden con el defecto real, el método de inversión consiste en quedarse con los puntos al rededor de los mínimos de la derivada como aproximación al defecto real. El problema inverso tal y como ha sido descrito cae dentro de la categoría de problemas conocidos como problemas de identificación de dominio. Es decir, detectar la presencia o no de defectos se traduce en deducir la forma de un dominio desconocido, conformado por los defectos, en el cual las propiedades del material cambian drásticamente. Existen varios trabajos previos donde se ha demostrado que el método de identificación de dominios basado en la derivada topológica obtiene muy buenos resultados. Las aplicaciones van desde la acústica, el electromagnetismo, la tomografía de impedancia eléctrica, etc. Puesto que el uso de la derivada topológicas en termografías era una prueba de concepto, se decidió complementarla tesis con la validación con datos experimentales de detección de objetos mediante electromagnetismo también basado en la derivada topológica. Como se ha mencionado este método ya había dado muy buenos resultados con datos generados numéricamente, pero nunca se había probado con datos experimentales. El Institut Fresnel de Francia hizo públicas en sesiones especiales de la revista Inverse Problems, sendas bases de datos en las cuales diferentes objetos de materiales conductores o dieléctricos son irradiados mediante ondas electromagnéticas desde diferentes posiciones, y el campo eléctrico es medido en una serie de antenas receptoras. La finalidad de publicar estas bases de datos que diversos grupos de investigadores pudiesen comparar la eficiencia de sus métodos de reconstrucción de dominios, así como para facilitar el ensayo con datos reales a grupos que no disponen de acceso a un laboratorio. En la primera de las bases de datos, tanto los objetos como las posiciones y polarizaciones de las antenas emisoras y receptoras hacen que el problema pueda ser modelizado mediante la ecuación de Helmholtz escalar en dos dimensiones. Los resultados obtenidos han sido muy buenos. La calidad de las reconstrucciones es tan buena como las mejores de los otros métodos. IMAGENES Es capaz de encontrar dichos objetos sin necesidad de información a priori, y siendo la derivada topológica un método de un solo paso, el coste computacional es bajísimo, obteniendo la reconstrución en segundos en un ordenador de sobremesa. Un tiempo muchísimo menor que el de los otros métodos, casi todos iterativos. En la segunda base de datos, el problema es completamente tridimensional, siendo modelado por las ecuaciones de Maxwell para dependencia temporal harmónica. Los resultados obtenidos en la base de datos tridimensional han sido muy buenos sin embargo para algunos objetos la reconstrucción era altamente dependiente de la frecuencia usada. Sigue siendo un método mucho más rápido que el resto de métodos iterativos, pero en esta base de datos quedarían opciones de mejora para el futuro, por ejemplo métodos que permitiesen descartar las frecuencias que obtienen malas reconstrucciones. Con respecto al problema de inspección por termografía infrarroja, debido a que era una primera prueba de concepto, todos los datos utilizados fueron generados sintéticamente, es decir, mediante simulación numérica resolviendo un problema de elementos finitos. La tesis sirvió para entender el comportamiento de la derivada topológica en la ecuación del calor y además esta fue validada contra termografías con ruido añadido aleatoriamente. De este modo nos aseguramos de que no se estaban cometiendo crímenes inversos, es decir, que no estábamos sobrestimando la bondad del método debido a que conocíamos los datos con precisión absoluta. Se ensayaron tres modelos diferentes. El primer modelo, el más sencillo teóricamente y menos complejo a la hora de programarlo, fue el de una placa bidimensional (es decir, la sección de una placa tridimensional) ensayada de manera estacionaria. Se comprobó que el método basado en la derivada topológica era capaz de detectar mas o menos la posición de los defectos y en ciertos casos incluso la presencia de más de un defecto. Sin embargo los dominios reconstruidos por este método heredan propiedades de las soluciones de la ecuación en derivadas parciales en cuestión. En este caso, la ecuación del calor estacionaria presenta soluciones muy suaves, con lo cual, los mínimos de la derivada topológica también eran muy suaves, y por consiguiente los dominios reconstruidos eran muy imprecisos en cuanto al tamaño o forma de los defectos. El segundo modelo que se ensayó fue el caso bidimensional con excitación harmónica en el tiempo. Al ser la excitación harmónica en el tiempo, la dependencia temporal se puede eliminar planteando el problema en el plano complejo, y siendo el problema bidimensional, los costes computacionales asociados son pequeños, con lo cual es fácil de manejar. En este caso, teniendo la ecuación harmónica en el tiempo soluciones con gradientes mas grandes, se obtuvieron resultados mucho mas precisos. Además, mientras que en el caso estacionario se pudieron combinar experimentos con lámparas en distintas posiciones, en el caso harmónico también se pudieron combinar distintas frecuencias. El método demostró ser robusto con altas cantidades de ruido, y ser capaz de devolver el número de defectos, su tamaño y la posición a lo largo de la placa. Por último, como validación con un problema más realista, y más complejo de manejar computacionalmente, se ensayó el caso tridimensional con excitación harmónica en el tiempo. El caso tridimensional estacionario no se estudió pues ya había sido estudiado por M.L. Rapún y su equipo de trabajo. Conceptualmente no hubo ninguna novedad con respecto al caso bidimensional. El método mostró ser un método muy robusto para la detección de tamaño, número, y forma de los defectos siempre que no se tenga en cuenta la profundidad. Hay que recalcar que en la mayoría de los casos, a un operario le bastará con saber que existe un defecto, su tamaño, y su posición y forma en el plano paralelo a la placa. La tesis sigue la siguiente estructura: en la introducción se presenta la motivación práctica de esta tesis, así como se describen ligeramente los casos estudiados. En el segundo capítulo se explica el concepto de problema inverso y su particularidades, así como el de derivada topológica. Además en este capítulo se describe el método de reconstrucción basado en la derivada topológica. El tercer capítulo está dedicado a los ensayos con datos reales del Institut Fresnel. Primero se describe el modelo físico utilizado así como sus posibles simplificaciones para cada uno de los casos y luego se presentan los resultados numéricos obtenidos así como las conclusiones. El cuarto capítulo hace referencia a los ensayos mediante termografía infrarroja y sigue una estructura similar. Se hace una introducción a la física involucrada en la obtención de una termografía infrarroja, así como se presentan los modelos físicos de los casos a estudiar. A continuación se muestran los resultados numéricos obtenidos intercalados con explicaciones de los fenómenos que se puedan apreciar y se remata con una sección de conclusiones y trabajo futuro. Finalmente hemos añadido un capítulo de conclusiones generales sobre ambos casos.