Linear and nonlinear nonlocal operators of order near zero

Resumen

La tesis se centra en el estudio de ciertos operadores de tipo integro-diferencial, de orden diferencial cercano a cero, de interés en aplicaciones y en teoría matemática. Los operadores integro-diferenciales aparecen con relativa frecuencia en diferentes situaciones del mundo real como por ejemplo, y por mencionar solo algunas de estas: i) Dinámica de poblaciones en biología y modelos de relación depredador-presa en ecología. ii) Modelos de fluctuación de precios para activos en economía, cuyos procesos pueden tener cambios repentinos y bruscos. iii) Procesamiento de ruido de imagen, donde los algoritmos de eliminación de ruido no locales pueden detectar patrones y contornos de una manera más eficiente que los modelos clásicos iv) Modelos de mecánica de fluidos, como la ecuación cuasi-geostrófica de superficie que se utiliza en oceanografía para modelizar la temperatura en la superficie. Todos estos problemas comparten su propia naturaleza no local, lo que significa que para conocer el valor de la variable que nos interesa en cierto punto, es necesario conocer cierta información sobre su comportamiento en puntos distantes. El carácter no local de estos operadores está directamente relacionado con las propiedades aleatorias y las discontinuidades de salto de los fenómenos que modelan. Este tipo de procesos se conocen como Procesos de Lévy. En la primera parte de la tesis dedicamos un capítulo preliminar para plantear las hipótesis precisas que consideramos a lo largo de esta parte. El Capítulo 2 está dedicado a estudiar el operador no local definido y la forma bilineal asociada, describiendo sus propiedades, incluyendo la acción del operador sobre diferentes funciones, dos desigualdades de Hardy y un resultado de simetrización para la forma bilineal. Las inclusiones compactas de nuestros espacios tipo Sobolev en L2 se estudian en el Capítulo 3, así como la inclusión en algún espacio de tipo Lorentz. En el Capítulo 4 estudiamos tres problemas asociados a nuestro operador, dos problemas lineales, con condición exterior de Dirichlet o Neumann, y un problema no lineal con diferentes reacciones; mostramos existencia y unicidad para reacciones sublineales y no existencia cuando la reacción es supercrítica. En la segunda parte comenzamos nuevamente con un capítulo preliminar donde estudiamos las propiedades de los espacios de Orlicz LΨ por medio de algunas desigualdades satisfechas por la no linealidad Ψ y los funcionales F y E, Capítulo 5. En el Capítulo 6 se muestran las inclusiones de Sobolev para el espacio W J,Ψ. Finalmente el Capítulo 7 está dedicado al estudio de los problemas elípticos asociados para las diferentes reacciones comentadas anteriormente.