Caracterización de la estructura del espacio de fases de sistemas hamiltonianos mediante indicadores dinámicos

Resumen

TÍTULO: Caracterización de la Estructura del Espacio de Fases de Sistemas Hamiltonianos mediante Indicadores Dinámicos. En el estudio de sistemas dinámicos que pueden ser descritos mediante una función hamiltoniana, los grados de libertad del sistema (también denominados dimensión del sistema) juegan un papel fundamental a la hora de enfocar su caracterización. Mientras que existen herramientas matemáticas bien definidas para visualizar y estudiar la estructura regular o caótica de sistemas de dos grados de libertad (2D), como por ejemplo la superficie de sección de Poincaré, en el caso de tres grados de libertad (3D), la situación es mucho más complicada y no está completamente resuelta. Esto es debido a que en este caso el espacio de fases tiene dimensión 6 o 5 si la energía total del sistema se conserva. En esta tesis proponemos una metodología que permite caracterizar de forma completa el espacio de fases de sistemas hamiltonianos mediante indicadores dinámicos, que puede aplicarse independientemente de la dimensión del sistema. Hemos usado como sistema hamiltoniano de estudio el sistema molecular LiNC/LiCN de dos y tres grados de libertad. En el modelo de dos grados de libertad se congela el movimiento C-N, mientras que en el modelo de tres grados de libertad se introduce un potencial Morse, que describe de manera realista la interacción entre los átomos de carbono y nitrógeno. En el estudio del sistema 2D utilizamos el índice SALI (Small Alignment Index) para caracterizar la dinámica vibracional de nuestro sistema. Este índice se basa en analizar cómo se separan trayectorias cercanas mediante un algoritmo muy eficiente que es independiente de la dimensionalidad del sistema. Utilizando los valores numéricos mínimos de SALI en un periodo determinado de tiempo T (mSALI T ), hemos podido realizar una completa caracterización de las diferentes dinámicas que aparecen en este sistema. En particular, hemos demostrado que SALI permite determinar la naturaleza regular o caótica de las trayectorias, así como diferenciar entre “caos fuerte” y “caos suave”, distinguiendo el diferente comportamiento dinámico de trayectorias cercanas a órbitas periódicas y a cantoros. SALI resulta ser una poderosa herramienta en dinámica no lineal, que aporta información complementaria a las Superficies de Sección de Poincaré (SSP). Hemos definido diagramas y mapas, mediante diferentes aplicaciones que asignan un valor de SALI (en el intervalo [0,]) a cada condición inicial de un determinado subconjunto del espacio de fases. Para visualizar los distintos mapas hemos desarrollado visualizaciones en las que el valor de SALI se representa mediante un código de colores. Variando el subconjunto de condiciones iniciales sobre el espacio de fases, hemos construido el diagrama de bifurcación con SALI; las SSP con SALI (en los que se asigna el mismo valor de mSALI T a los cortes correspondientes a la SSP de una misma trayectoria) y los mapas de SALI, donde las condiciones iniciales se encuentran sobre la SSP. Estos mapas nos han permitido obtener una visión global de la estructura del espacio de fases de nuestro sistema con dos grados de libertad. En el estudio del sistema con tres grados de libertad se han generalizado los mapas de SALI utilizados previamente en el sistema 2D, incluyendo el tercer grado de libertad. Hemos desarrollado una metodología de visualizaciones 4D, usando el color como una cuarta dimensión que representa el valor de mSALI T . Por un lado, partimos del plano correspondiente a la SSP del sistema de dos grados de libertad, añadimos una tercera dimensión correspondiente al nuevo grado de libertad y coloreamos cada punto en función de SALI. Mediante estas visualizaciones hemos podido caracterizar el espacio de fases del sistema con tres grados de libertad para diferentes valores de la energía vibracional total del sistema. Así mismo hemos demostrado que las zonas caóticas disminuyen cuando las condiciones iniciales implican mayor energía asociada al movimiento C-N, siendo una primera evidencia de que este movimiento está bastante desacoplado del resto. Hemos llevado a cabo un estudio de la proporción de zonas de caos y regularidad en función de la energía total del sistema tanto para el caso 2D como para el 3D. Hemos evidenciado que existe un rango de energías intermedias donde existen zonas de caos suave relacionadas con la existencia de estructuras fractales (cantoros) en el espacio de fases y que a altas energías siempre queda alrededor de un 6% de zona regular en el espacio de fases. Este valor se alcanza a energías más altas en el caso del sistema 3D. Además, en el caso de 3D el valor asintótico de la proporción de zonas de caos y de regularidad depende del valor inicial de la energía en el tercer grado de libertad, de forma que cuanta más energía vibracional inicial tiene, la proporción de trayectorias regulares es mayor. Esto es una nueva evidencia de que el movimiento en la nueva coordenada está muy desacoplado del movimiento del resto del sistema. Otro indicador dinámico que hemos utilizado en el estudio del sistema 3D es el análisis de frecuencias. Este análisis ha demostrado ser un excelente indicador de caos que permite evidenciar la compleja estructura del espacio de fases de sistemas hamiltonianos, y en particular de sistemas moleculares, independientemente de su dimensión. En esta tesis se presenta un análisis sistemático de la molécula de LiCN con tres grados de libertad, complementado, por primera vez en la literatura científica, con el índice SALI mediante visualizaciones 4D. Para ello, partimos del plano de relaciones de frecuencias obtenidas para condiciones iniciales sobre la SSP del sistema 2D, añadimos una tercera dimensión correspondiente al nuevo grado de libertad y coloreamos cada punto del espacio en función de su valor de mSALI T . Esto nos ha permitido caracterizar las diferentes zonas del espacio de fases en función de las relaciones de frecuencias entre los tres modos de vibración. Así, por ejemplo, dentro de la zona regular hemos podido encontrar toros de baja dimensionalidad, donde la relación entre dos frecuencias es un número racional, pero la relación del tercera frecuencia con las otras dos es un número irracional. También hemos definido un nuevo mapa de SALI y su correspondiente visualización 4D, que se basa en el estudio de las energías cinéticas medias, que complementa la información aportada por el análisis de frecuencias. De esta forma podemos mapear, usando visualizaciones 4D, el espacio de fases en el espacio de frecuencias y en el espacio de energías, lo que nos permite obtener una visión completa de la estructura dinámica del sistema y realizar una correcta interpretación. Hemos comprobado como para el sistema LiNC/LiCN la aproximación de dos grados de libertad es adecuada y hemos mostrado que la metodología desarrollada permite evidenciar, incluso en este caso, las nuevas estructuras que aparecen en los sistemas de tres grados de libertad, como por ejemplo los toros de baja dimensión. Por último, hemos realizado un estudio exhaustivo del sistema de tres grados de libertad a una energía baja, para poder analizar en ausencia de movimiento caótico cómo influye el nuevo grado de libertad en la dinámica global del sistema.