Dynamics of Partial Control

Resumen

INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES: El trabajo de investigación desarrollado en esta tesis se centra fundamentalmente en el ¿Control de Transitorios Caóticos¿. Generalmente se entiende por sistema caótico a aquel presenta un objeto atractivo en el espacio de fases, un atractor caótico, dentro del cual las trayectorias son caóticas. Sin embargo existen situaciones en las cuales existe un conjunto en el espacio de las fases dentro del cual las trayectorias son caóticas pero no es atractivo. La existencia de estos conjuntos, conocidos como sillas caóticas o conjuntos caóticos no atractivos, implica que las trayectorias que pasan cerca se comportan de modo caótico durante una cantidad finita de tiempo, y luego acaban cayendo en otro atractor fuera de la región donde se encuentra dicho conjunto. Este comportamiento se conoce como caos transitorio. El caos transitorio es tan frecuente como el caso permanente, dedo que en ocasiones basta con alterar levemente un parámetro del sistema para que (a través de una bifurcación) un atratactor caótico se convierta en una silla caótica. Durante los últimos años el control del caos permanente, una idea que fue introducida en el artículo pionero (Ott, Grebogi &Yorke, 1990), ha sido estudiado con gran detalle, pero apenas se han dedicado esfuerzos al control del caos transitorio. Por otro lado, este tipo de control puede tener importantes aplicaciones en ciencia e ingeniería (Dhamala et al. 1999). En años precedentes, se había conseguido mostrar que la trayectoria de un sistema dinámico con transitorios caóticos puede ser controlada incluso si el control aplicado es menor que el ruido. Esta idea fue mostrada primero en un sencillo sistema unidimensional (Aguirre e al. 2004), para ser más tarde generalizada a una gran variedad de sistemas dinámicos: aquellos que presentan una herradura de Smale, que estira y dobla regiones del espacio de fases (Zambrano et al. 2008, Zambrano et al. 2009). Una importante tarea que quedaba pendiente era mejorar la aplicabilidad de estas ideas y mostrar que este método es implementable en un sistema arbitrario con caos transitorio. METODOLOGÍA DEL CONTROL PARCIAL: En nuestras vidas, usualmente caóticas, normalmente evitamos planificar con excesivo detalle, ya que en caso de que lo hagamos nos veremos obligados a realizar frecuentes modificaciones y adaptaciones. Cada vez que hacemos planes para conseguir lo que queremos lograr, tenemos que tener en cuenta aquellas situaciones indeseables y molestas que queremos evitar. Existen numerosas situaciones fuera de nuestro control que intervienen en el curso de nuestros planes, de modo que nos vemos obligados a adaptarnos a nuevas situaciones y nuevos escenarios. Podríamos simplemente decir que únicamente tenemos un control parcial sobre nuestro futuro. El objetivo fundamental del Método del Control Parcial consiste en suministrar un método completamente nuevo de control mediante el uso de ejemplos y alegorías de situaciones caóticas donde intentamos evitar desastres, de modo que nos vemos forzados a revisar continuamente nuestras trayectorias. Desde un punto de vista matemático, el método del control parcial de sistemas caóticos, es un nuevo tipo de control de sistemas dinámicos caóticos en presencia de perturbaciones de cualquier naturaleza. Por tanto, el objetivo fundamental del método de control parcial es evitar ciertos comportamientos indeseables in poder determinar una trayectoria específica. La sorprendente ventaja de este método de control es que en ocasiones resulta posible evitar dichos comportamientos indeseables incluso cuando el control aplicado es menor que las perturbaciones externas que actúan sobre un sistema dinámico dado. Esta novedosa línea de investigación se viene desarrollando desde hace años por varios investigadores del Grupo de Dinámica No Lineal, Teoría del Caos y Sistemas Complejos del Departamento de Física de la Universidad Rey Juan Carlos, donde he realizado mi tesis, en colaboración con el Prof. Jame Yorke de la Universidad de Maryland; pionero en los estudios de la teoría del caos y de los métodos de control del caos, quien mereció el Japan Prize en 2003 por sus contribuciones a las ciencias de la complejidad. La investigación realizada durante esta tesis es de naturaleza eminentemente teórico-computacional, si bien la implementación de los resultados en algún sistema físico es un añadido que siempre resulta deseable. Por todo ello el trabajo realizado se sustenta principalmente en el cálculo numérico. Para llevarlo a cabo se ha usado lenguajes de programación como C, que permiten cálculos rápidos de integración numérica de ecuaciones diferenciales, asimismo como el entorno de trabajo de Matlab. Sin embargo, en Dinámica No Lineal y Teoría del Caos, en ocasiones se hace necesario aproximarse al problema estudiado desde un punto de vista más geométrico, lo cual sólo es posible si representamos gráficamente distintas características del sistema: el atractor en el espacio de fases, los diagramas de bifurcación, las variedades estable e inestable, etc¿ Para hacer todo este tipo de análisis gráfico se ha usado un software más elaborado como es el de Matlab u otras herramientas del mismo tipo, que permiten una visualización rápida y eficiente de los datos con apenas esfuerzo. OBJETIVOS Y CONCLUSIONES: 1. Estudiar la relación entre los tiempos de escape y los conjuntos seguros. En las regiones del espacio de fases con escapes en sistemas dinámicos deterministas, cada punto va a tener asociado un determinado tiempo de escape. Dicho tiempo de escape viene definido como el tiempo empleado si tomamos la condición inicial en dicho punto e iteramos el sistema hasta que escapa. Utilizando esta definición es posible agrupar los diferentes puntos de la región con escapes en conjuntos con puntos que se mantienen en la región de interés durante al menos un tiempo determinado. Es a esto a lo que llamamos ¿Conjuntos de escape temporales¿. Sorprendentemente estos conjuntos temporales con escapes son enormemente parecidos a los conjuntos seguros utilizados en la técnica del control parcial. Es por eso que en una primera aproximación estudié si era posible estudiar este tipo de conjuntos temporales en lugar de los conjuntos seguros en la técnica de control parcial. Lamentablemente como se prueba en primera parte de la tesis esto no es posible debido a que el mapeo de estos conjuntos no es el adecuado para poder utilizar control menor que ruido. Sin embargo, propongo en esta primera parte de la tesis un procedimiento básico para eliminar de estos conjuntos escape temporales los puntos que no son válidos para el control parcial. Básicamente consiste en recortar aquellas zonas que no tiene un mapeo adecuado. Tras efectuar esta operación obtenemos un conjunto válido para el control parcial al que llamamos conjunto seguro extendido. También estudio en este apartado la relación existente entre las variedades estables presentes en todo sistema con una herradura de Smale con estos nuevos conjuntos seguros extendidos. Finalmente muestro como funciona todo este nuevo conjunto de ideas aplicándolas al mapa de Hénon. 2. El Algoritmo del Escultor El ingrediente básico de la técnica de control Parcial son los conjuntos seguros. Con los conjuntos seguros extendidos se probaba que estos conjuntos eran en principio mucho más grandes e lo que se pensaba. Pero el método para obtenerlos seguí siendo bastante rudimentario y además necesitaba de la presencia en el espacio de las fases de una herradura de Smale, que puede ser en muchos casos bastante difícil de encontrar. En, esta segunda parte de la tesis presento un algoritmo, al que llamamos Algoritmo del Escultor, que permite encontrar de forma automática conjuntos seguros en sistemas dinámicos con escapes, únicamente conociendo el mapa (o la sección de Poincaré si se trata de un sistema continuo) y el valor de la máxima perturbación externa presente en el sistema. Aplicando dicho algoritmo recursivamente para diferentes valores de control se pueden ir obteniendo diferentes conjuntos seguros. Pero no todos los valores de control van a permitir la existencia de un conjunto seguro. Parece haber un valor mínimo por debajo del cual no existen conjuntos seguros. En esta parte también muestro como funciona este nuevo algoritmo con dos sistemas paradigmáticos en Dinámica No Lineal: el mapa de Hénon y el oscilador de Duffing. 3. Dinámica del control parcial En este apartado analizo el comportamiento de los sistemas parcialmente controlados. Con la introducción del Algoritmo del Escultor se hacía posible encontrar conjuntos seguros en prácticamente cualquier sistema. Pero poco o nada se sabía de la dinámica del sistema una vez que se empezaba aplicar control. Realizando simulaciones largas en sistemas con control parcial se descubre rápidamente que las trayectorias no visitan con igual regularidad todas las zonas de los conjuntos seguros. Es más, hay zonas que no se visitan jamás. Es por esto, que en esta parte defino lo que llamamos conjuntos seguros asintóticos. A estos conjuntos va a tender asintóticamente todas las trayectorias dentro de los conjuntos seguros conforme va avanzando el tiempo. Para hallar estos nuevos conjuntos, propongo nuevos algoritmos que utilizan como base el conjunto seguro encontrado con el Algoritmo del Escultor. El primero de ellos es también un algoritmo de escultura que va eliminando puntos del conjunto seguro de acuerdo a una determinada condición. El segundo de ellos realiza la operación contraria, es un algoritmo de moldeado. Tomando un conjunto de condiciones iniciales dentro del conjunto seguro encontrado con el Algoritmo del Escultor y utilizándolo como modelo va añadiendo nuevas partes conforme se van visitando nuevas zonas. Curiosamente la mayoría de las veces los conjuntos asintóticos encontrados utilizando ambos algoritmos son iguales, o que hace pensar que esos sean únicos en la mayoría de sistemas. En particular, muestro en esta parte como funciona todo este nuevo marco conceptual con el oscilador de Duffing. 4. Minimizando la frecuencia del Control Parcial En cualquier sistema de control lo que siempre se intenta es minimizar al máximo el control aplicando en cada iteración así como la frecuencia con las que se tiene que aplicar. En esta parte muestro esta segunda aproximación. Estudio que ocurre cuando en vez de aplicar control durante cada iteración del sistema la aplico cada K iteraciones. Como resultado destacable muestro en esta parte que asumiendo un nivel de perturbaciones externas constante con k iteraciones del sistema, es decir que las perturbaciones no aumentan con cada iteración, el control necesario para evitar comportamientos indeseados va disminuyendo asintóticamente. También muestro como esta convergencia asintótica depende del tamaños de la región de escape qu e se encuentre en el sistema o que se haya definido artificialmente. Si el tamaño de la región de escape es muy pequeño o nulo el control converge asintóticamente a 0 según se aumenta K. Por el contrario, si la región por la que hay es muy grande la convergencia asintótica del control ya no es a 0, si no que será un valor finito distinto de 0, que será proporcional al tamaño de la región de escape. Por otro lado asumir que el niel de las perturbaciones externas no aumenta con cada iteración, es decir que no se va a ir amplificando, no parece muy realista. Pero utilizando este hecho fundamental con el hecho de que el control necesario va disminuyendo conforme se aumenta el número de iteraciones si este es constante nos permite definir una frecuencia mínima de control. Esto es que asumiendo que únicamente podemos aplicar una determinada cantidad de control máxima podemos hacerlo de tal forma que podemos minimizar la frecuencia con la que efectuamos esta acción. En este apartado también muestro como aplicar todas estas ideas fundamentalmente a la aplicación tienda para luego generalizarlo todo en el mapa de Hénon.