Anàlisi d'un model de suspensió-amortiment

Resumen

Els sistemes formats per una molla fixa en un extrem i una massa rígida en moviment en laltre, shan modelitzat clàssicament mitjançant lEDO de segon ordre mu(t) + du(t) + ku(t) = 0. Però aquest model no té en compte fenòmens com possibles diferències en la deformació interna de la molla o la dissipació deguda a la viscositat interna daquesta. És per això que té sentit pensar en un model en derivades parcials on apareguin aquests fenòmens continus. En aquesta tesi, es proposa i justifica un model per a aquest tipus de sistemes viscoelàstics que resulta ser una equació dones amb dissipació forta (o tipus Kelvin-Voigt) i condicions de contorn dinàmiques. Analitzarem el model en funció de dos paràmetres: la viscositat interna de la molla, inversament proporcional a la massa de lextrem. Lobjectiu principal serà comparar aquesta aproximació de tipus continu amb el model clàssic i veure quan el model en derivades parcials admet una EDO com a límit, en un sentit que es precisarà. Leina per fer-ho seran els valors propis dominants, de manera que un estudi acurat de lespectre (que inclou valors propis i espectre essencial) permetrà demostrar la no existència duna EDO límit per a una molla purament elàstica, lexistència no uniforme quan hi ha poca viscositat interna i lexistència duna EDO límit, que trobarem explícitament, quan la massa de lextrem és gran. Un altre problema que té sentit considerar és el dimposar una acceleració en lextrem abans fixat, que es pot pensar com un control extern. Aquest punt de vista dóna lloc al model anterior però amb una no linealitat no local en lequació i en les condicions de contorn. Amb lobjectiu de demostrar lexistència duna EDO límit per a aquest model no lineal, es prova lexistència duna varietat invariant exponencialment atractora si E és prou petita que tendeix a 0 en norma C1 quan E - 0. això permet trobar una EDO límit explícitament, que resulta ser una EDO no lineal dordre 2. En aquesta part, és fonamental la teoria de pertorbacions, en particular la convergència en sentit generalitzat doperadors o lacotació uniforme de semigrups. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ABSTRACT. Classically, the motion of a system consisting of a spring with a fixed end and attached to a rigid moving mass at the other, has been modelled by the classical second order ODE mu(t) + du(t) + ku(t) = 0. But phenomenons such as internal deformation differences or internal viscous damping are not taken into account by this model. That is why partial differential equations models arise. In this thesis, we propose and justify a model for those viscoelastic systems, which turns to be a wave equation with strong damping (or Kelvin-Voigt damping) and dynamical boundary conditions. We analyze this model in terms of two parameters: the spring internal viscosity, and which essentially is the inverse of the moving mass at the end. The main purpose will be to compare this continuous approach with the classical model and to see in which case the PDE admits an ODE as limit, in an appropriate sense. The tool used to prove this are the dominant eigenvalues, so that a detailed analysis of the spectrum (including eigenvalues and essential spectrum) allows us to show the nonexistence of a limit ODE for a purely elastic spring, the existence of a nonuniform limit ODE when the internal viscosity is small and the existence of a limit second order ODE, which is given explicitly, when the mass at the end is taken sufficiently large. Another problem of interest is obtained by imposing an acceleration in the previous fixed end. This point of view, which can also be thought as an external control, gives rise to the previous model but with a nonlocal nonlinearity in the equation and in the boundary conditions. With the purpose of showing the existence of a limit ODE for this nonlinear problem, we prove the existence of an exponentially attracting invariant manifold for E sufficiently small, which converges to 0 in the C1 topology when E - 0. This is used to find explicitly a limit second order nonlinear ODE. In this part, the use of perturbation theory tools such as the convergence of operators in a generalized sense or a uniform bound for families of semigroups are essential.