Semiclassical measures and asymptotic distribution of eigenvalues for quantum KAM systems

Resumen

Esta tesis aborda el estudio de la dinámica de la ecuación de Schrödinger en el régimen semiclásico, es decir, cuando la longitud de onda de las soluciones es comparable con una escala de tamaño h > 0 con respecto a la métrica con la que se mide. El parámetro h en la literatura a veces se identifica con la constante de Planck normalizada. El Principio de Correspondencia establece que el comportamiento asintótico cuando h tiende a cero de estas soluciones altamente oscilantes se rige por la dinámica clásica subyacente. El estudio riguroso de este fenómeno recibe el nombre de análisis semiclásico y se ha desarrollado ampliamente durante las últimas tres décadas, abarcando numerosos problemas de ecuaciones en derivadas parciales lineales y no lineales. Motivado por los resultados previos de Fabricio Macià y Gabriel Rivière sobre la dinámica de la ecuación de Schrödinger asociada a pequeñas perturbaciones de sistemas completamente integrables cuyo flujo es periódico, como la esfera con la métrica canónica o, más generalmente, las variedades de Zoll, este trabajo estudia el problema análogo para perturbaciones de hamiltonianos completamente integrables con flujo no necesariamente periódico, como el sistema de d osciladores armónicos con frecuencias independientes o, más ampliamente, sistemas tipo KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser). La tesis se divide en cuatro partes que siguen un hilo conductor: el estudio de la distribución de Wigner, que describe la concentración o dispersión de la función de onda en el espacio de fases (espacio de posiciones y momentos), asociada a soluciones de la ecuación de Schrödinger en distintas situaciones y regímenes. Los puntos de acumulación de sucesiones de distribuciones de Wigner cuando h tiende a cero reciben el nombre de medidas semiclásicas. En la primera parte de la tesis se obtienen resultados sobre las propiedades de propagación e invarianza de las medidas semiclásicas dependientes del tiempo, es decir, asociadas a las soluciones de la ecuación de propagación de Schrödinger. Asimismo, se muestran aplicaciones de estos resultados para las soluciones de la ecuación de Schrödinger estacionaria. En concreto, se prueba que una pequeña pertubación del oscilador armónico puede destruir los conjuntos minimales (toros invariantes) sobre los que las sucesiones de autofunciones pueden concentrarse si existen resonancias entre las frecuencias del oscilador. Sin embargo, si el vector de frecuencias es diofántico, esto es, los cocientes entre sus componentes se aproximan “mal” por números racionales, se prueba que los toros invariantes maximales asociados son más estables y pueden ser conjuntos de acumulación de la energía de sucesiones de soluciones de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para rangos de tiempo polinomialmente largos. En la segunda parte de la tesis se estudia la distribución asintótica de los autovalores del operador asociado a perturbaciones no autoadjuntas del oscilador armónico. Este problema está relacionado con el estudio del decaimiento de la energía para soluciones de la ecuación de ondas amortiguada. Los resultados obtenidos muestran la influencia de la perturbación en la franja del plano complejo donde los autovalores pueden concentrarse y la escala a la que se produce dicha concentración. Con hipótesis de analiticidad se prueba que los autovalores no pueden acumularse cerca de la recta real, es decir, existe un gap espectral. En el caso diferenciable, la estimación es más débil, pero permite obtener una cota sobre la norma de la resolvente del operador. La tercera parte se ocupa del estudio de las medidas semiclásicas asociadas a perturbaciones de campos vectoriales diofánticos sobre el toro. Se demuestra que para un conjunto cantoriano de frecuencias, el espectro puntual del operador es estable. Para estas frecuencias se caracterizan los puntos de acumulación de sucesiones de autofunciones o límites cuánticos del operador perturbado. Este resultado puede verse como una versión semiclásica del teorema KAM clásico sobre perturbaciones de campos vectoriales sobre el toro. Finalmente, la cuarta y última parte de esta memoria estudia el problema de renormalización desde el punto de vista semiclásico. Dada una perturbación acotada de un hamiltoniano lineal con frecuencias diofánticas sobre el toro, se obtiene la existencia de un operador integrable (que solo depende de las coordenadas acción) tal que sumado al operador perturbado lo renormaliza dando lugar a un operador integrable y unitariamente equivalente al operador sin perturbar. Como consecuencia, se obtiene que los conjuntos de límites cuánticos y medidas semiclásicas de sucesiones de autofunciones para el operador renormalizado coinciden con aquellos del operador no perturbado.