Estudio del comportamiento asintótico de las ecuaciones de Navier-Stokes no autónomas y algunas de sus variantes = Study of the asynmptotic behavioru of the non-autonomous Navier-Stokes equations and some of their variations.

Resumen

Una de las ramas de la Física más interesantes y complicadas de investigar es la Mecánica de Fluidos, que estudia el comportamiento de los fluidos en reposo (Estática de Fluidos) o en movimiento (Dinámica de Fluidos), así como las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan fluidos. La Mecánica de Fluidos es primordial en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía. Las ecuaciones fundamentales de la Dinámica de Fluidos son las ecuaciones de Navier- Stokes, las cuales describen el movimiento de fluidos incompresibles. En el último siglo y medio, estas ecuaciones han sido aplicadas por físicos e ingenieros con apreciable éxito en muy variados campos, entre ellos la hidráulica, la meteorología y la aeronáutica, y sin ellas resultaría matemáticamente imposible describir, por ejemplo, los flujos de aire turbulento o los remolinos que se forman cuando el agua discurre por una tubería. Por otra parte, en las últimas décadas también se ha prestado una considerable atención a la teoría de atractores, la cual se ha convertido en una interesante y eficaz herramienta en el estudio del comportamiento asintótico de los sistemas dinámicos, tanto autónomos como no autónomos. Por ejemplo, dado un problema diferencial autónomo para el que tengamos asegurada, para cada dato inicial, unicidad de solución definida para todo instante futuro, cabe preguntarse cómo evoluciona en el tiempo dicha solución. La teoría de atractores para sistemas dinámicos autónomos nos permite garantizar, bajo ciertas condiciones mínimas, la existencia de atractor global, que de forma muy general viene a ser un conjunto compacto e invariante, tal que atrae todas las trayectorias del sistema dinámico, uniformemente en conjuntos acotados. No obstante, la aplicación práctica de modelos basados en ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como en derivadas parciales, revela que las fuerzas externas utilizadas para su modelización han de depender explícitamente del tiempo. Mientras que dicho factor no supone un cambio esencial en el estudio en intervalos finitos de tiempo, sí ocurre que aparecen diferencias sustanciales al examinar la evolución del modelo para todo tiempo. De esta manera, los sistemas dinámicos no autónomos han generalizado el tipo de respuestas posibles, dando lugar a nuevos conceptos tales como el de atractor pullback (desde atrás). La teoría de atractores pullback ha progresado profundamente en los últimos años y ha sido aplicada para intentar dar solución a una amplia variedad de problemas provenientes de distintas ramas de la Ciencia como Química, Física y Biología, y por supuesto para abordar varios modelos relacionados con las ecuaciones de Navier{Stokes. Este trabajo está dividido en seis capítulos. En el Capítulo 1 presentamos algunos resultados abstractos que garantizan la existencia de atractores pullback minimales para sistemas dinámicos no autónomos en un marco teórico que puede depender de distintos universos como �campos de fase�. Esta teoría será aplicada en el resto de los capítulos a diversos modelos basados en las ecuaciones de Navier{Stokes no autónomas, con la finalidad de obtener la existencia de distintas familias de atractores pullback para dichos modelos. En el Capítulo 1 generalizamos la teoría sobre atractores globales para sistemas dinámicos autónomos al marco no autónomo. Más concretamente, en la Sección 1.1 definimos algunos conceptos básicos y estudiamos varios resultados abstractos relativos a la teoría de atractores pullback, los cuales nos permitirán garantizar, bajo ciertas hipótesis mínimas, la existencia de dichos atractores para un proceso evolutivo asociado a un determinado problema y para dos tipos diferentes de universos, el de los conjuntos acotados fijos y otro universo formado por familias parametrizadas en tiempo y definido en términos de una condición temperada. Dicho resultado sobre la existencia de atractores pullback minimales corresponde al Teorema 1.11. Además, en el Teorema 1.15 establecemos también un resultado que nos permitirá comparar atractores pullback en distintos espacios de fase y universos. Finalmente, en la Sección 1.2 definimos el concepto de propiedad attening y probamos que la compacidad asintótica del correspondiente proceso evolutivo, necesaria para la existencia de atractor pullback, puede obtenerse a partir de esta propiedad (véase la Proposición 1.18). En el Capítulo 2 consideramos las ecuaciones de Navier{Stokes bidimensionales y no autónomas en un dominio acotado y estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones cuando el dato inicial del problema pertenece a distintos espacios de fase. Haciendo uso de la teoría desarrollada en el capítulo anterior, en la Sección 2.2 probamos la existencia de atractores pullback minimales en los espacios H y V, para varios universos de los dos tipos citados anteriormente y bajo condiciones mínimas de regularidad sobre el campo de fuerzas f, que aseguren la existencia de soluciones débiles y fuertes respectivamente. Cabe señalar que la compacidad asintótica en V del proceso asociado a nuestro modelo se obtiene mediante un método de energía basado en la continuidad de las soluciones y en ciertas funciones no crecientes (véase el Lema 2.14). Asimismo, aplicando de nuevo la teoría dada en el Capítulo 1, establecemos algunas relaciones entre los atractores pullback definidos en H y en V. Finalmente, en las Secciones 2.3 y 2.4, analizamos algunas propiedades de regularidad para dichos atractores, tales como la acotación en H2 y su comportamiento temperado en los espacios V y H2. A continuación, en el Capítulo 3 establecemos nuevamente la existencia de atractores pullback minimales en H y en V para el mismo modelo considerado en el Capítulo 2, pero mediante la propiedad attening (aplastamiento). Cabe destacar que, mientras que en el caso del espacio de fase H, una prueba directa de la compacidad asintótica del proceso conlleva el mismo esfuerzo que verificar la propiedad attening, en el caso del espacio V, es notablemente más inmediato obtener la compacidad asintótica a partir de la propiedad attening que mediante el método de energía utilizado en el Lema 2.14. Además, en la Sección2.2.1, exigiendo más regularidad sobre el campo de fuerzas (en concreto, suponiendo que f ? Lp loc (R; V�) para algún p>2),y basándonos en el enfoque sobre la teoría de semigrupos llevado a cabo por Fujita y Kato [29]y en algunas ideas sobre la teoría de la ?-regularidad desarrollada por Arrieta y Carvalho [2], obtenemos la existencia de una familia compacta y pullback absorbente en H. análogamente, en la Sección 2.2.2, también probamos la existencia de una familia compacta y pullback absorbente en V, imponiendo que f ? Lp loc (R; H) para algún p>2. Por otro lado, en los Capítulos 4 y 5 consideramos las ecuaciones de Navier-Stokes no autónomas cuando el problema contiene términos con retardo finito, en un dominio acotado de R2. En ambos capítulos obtenemos resultados similares relativos a la existencia de atractores pullback minimales y algunas relaciones entre ellos. No obstante, las hipótesis que suponemos sobre el término que contiene el retardo son distintas y es por ese motivo por el que llevamos a cabo el estudio de este modelo en dos capítulos por separado. En el Teorema 4.5 de la Sección4.1 probamos un resultado sobre existencia, unicidad y regularidad de solución para el modelo considerado, pero bajo hipótesis menos restrictivas sobre el operador con retardo que en Capítulo 5. Más concretamente, eliminamos hipótesis relacionadas con estimaciones en la norma del espacio L2 sobre el término que contiene el retardo. No obstante, esto nos obliga a restringirnos al espacio de fase de las funciones continuas en tiempo. En contraposición, como una ventaja a tener en cuenta, podemos considerar una mayor clase de operadores con retardo. De hecho, en esta sección exponemos también un ejemplo en el que sólo exigimos medibilidad sobre el término con retado, sin necesidad de que sea de clase C1 con derivada acotada, tal y como se impone en algunos artículos previos que tratan el mismo problema. Por otro lado, y de nuevo haciendo uso de la teoría desarrollada en el Capítulo 1, en las Secciones 4.2 y 4.3 probamos la existencia de atractores pullback minimales en los espacios H y V respectivamente, para el universo de los conjuntos acotados fijos y para diversos universos temperados (véanse los Teoremas 4.14 y 4.25). Para ello, en la Proposición 4.13 y en el Lema 4.24, probaremos previamente la compacidad asintótica del correspondiente proceso en ambos espacios de fase, de nuevo mediante el mismo método de energía ya usado en el Lema 2.14. Por último, en la Sección4.3 establecemos también algunas propiedades de regularidad para dichos atractores y, bajo determinadas hipótesis, veremos que todos ellos coinciden. En el Capítulo 5 mantenemos todas las condiciones usuales sobre el término con retardo, incluidas aquellas relativas a estimaciones en norma L2. En las Secciones 5.2 y 5.3 establecemos de nuevo la existencia de atractores pullback minimales en H y en V respectivamente, tanto para el espacio de fase de las funciones continuas en tiempo como para el de las funciones de cuadrado integrable en tiempo (véanse los Teoremas 5.10, 5.19 y 5.21). Además, bajo determinadas hipótesis, obtenemos algunos resultados de regularidad para estos atractores, tales como la atracción en el espacio de las funciones continuas (en tiempo) con valores en V, y analizamos las relaciones existentes entre dichas familias de atractores, lo que nos conduce finalmente (véase el Teorema 5.23) a relaciones con los atractores obtenidos en el Capítulo 4. Por _ultimo, en el Capítulo 6 consideramos el modelo de Navier-Stokes-Voigt para fluidos viscoel_asticos e incompresibles, el cual fue introducido por Oskolkov en [74] para describir de manera aproximada un fluido del tipo Kelvin{Voigt. Más concretamente, analizamos el comportamiento asint_otico de las soluciones de un problema no autónomo para las ecuaciones de Navier-Stokes-Voigt en un dominio acotado de R3, cuando el dato inicial pertenece a distintos espacios de fase. En la Sección 6.1 probamos un resultado sobre existencia, unicidad y regularidad de solución, haciendo uso de las aproximaciones de Galerkin y algunos resultados de compacidad. Una vez más, el principal objetivo de este capíulo es obtener condiciones suficientes con las que podamos garantizar la existencia de atractores pullback minimales para el proceso evolutivo asociado a nuestro modelo. Estos resultados serán expuestos en las Secciones 6.2 y 6.4. Dicho análisis se llevará a cabo en el espacio V y en el dominio del operador de Stokes D(A), de nuevo para dos tipos de universos distintos. Debido a que dicho modelo no posee efecto regularizante (al contrario que en las ecuaciones de Navier{Stokes bidimensionales), para probar la compacidad asintótica del proceso no podemos utilizar el método de energía aplicado en los capítulos anteriores, pues necesitaríamos mejores estimaciones para las soluciones del problema. En su lugar hacemos uso de otro método de energía, desarrollado por Rosa en [79] (véanse los Lemas 6.14 y 6.26). Finalmente, en el Teorema 6.20 de la Sección 6.3 analizamos algunas propiedades de regularidad para estos atractores usando un argumento de bootstrapping, el cual se basa en las potencias fraccionarias del operador de Stokes.