The covariant phase space of gravity with boundaries

Resumen

La presente tesis se centra en el estudio de los espacios de soluciones de teorías gravitacionales de campos con fronteras de tipo tiempo, mediante el uso de técnicas del espacio de fases covariante. En particular, la tesis pone en práctica el uso del bicomplejo relativo, un método recientemente desarrollado por dos de los directores de la tesis. El espacio de fases covariante se basa en el estudio del espacio de soluciones de un principio variacional, al que dotamos de una estructura simpléctica. Nuestro trabajo se centra en construir de manera sistemática esta estructura para comparar formalmente de forma inequívoca teorías gravitacionales. La ventaja de este esquema respecto a métodos canónicos o Hamiltonianos es su covariancia explícita, trabajando siempre en el esquema Lagrangiano y con la posibilidad de incorporar fronteras de tipo tiempo. El bicomplejo relativo es un método cohomológico que fusiona el complejo variacional y el esquema del relativo. El esquema del relativo nos permite construir un álgebra de Grassmann sobre un par de variedades suaves, de tal forma que una de ellas esté embebida en la otra y sea de una dimensión menos. Este método nos permite formalizar la inclusión de fronteras de manera natural y relacionar las estructuras de la frontera con las de la variedad principal (o interior). El complejo variacional generaliza de manera natural la noción de cálculo diferencial a los fibrados de orden superior. Estamos interesados en trabajar con estructuras en los fibrados de orden superior porque nos permiten definir ecuaciones diferenciales sin tener que hacer referencia a sistemas de coordenadas. Las teorías de campos gravitacionales que consideramos vienen dadas por principios variacionales asociados a una acción. La primera acción que estudiamos es la acción de Einstein-Hilbert (EH) con el término de frontera de Gibbons-Hawking-York. Existen en la literatura discrepancias entre las formulaciones en términos de variables métricas y variables de tétradas de esta acción en variedades con fronteras. Esta aparente disparidad en las estructuras simplécticas de cada formulación parecía indicar que las formulaciones no eran equivalentes. En esta tesis, y mediante la incorporación de los términos de frontera adecuados, hemos sido capaces de demostrar que ambas formulaciones de la acción de Einstein-Hilbert en una variedad con fronteras son equivalentes. La resolución se basa en considerar términos de frontera que den lugar a la misma dinámica y en utilizar un esquema cohomológico como el del bicomplejo relativo, que permita su incorporación en el análisis del espacio de fases covariante. Las teorías gravitacionales de Palatini nos llevan a la segunda acción considerada en la tesis. La acción de Palatini es una modificación de la acción de Einstein-Hilbert en la que se añade una variable independiente adicional (una conexión), que la convierte en una teoría de primer orden. A la acción de Palatini es necesario añadirle un término de frontera, proporcionado por Obukhov en la década de 1980, que permite su comparativa cohomológica con la acción de Einstein-Hilbert que hemos considerado previamente. El primer resultado asociado a esta acción es su equivalencia en las formulaciones métrica y tetrádica, generalizada para incluir torsión y no metricidad. La generalización a una teoría que admita torsión es necesaria si se busca acoplar materia fermiónica a estas acciones. La no metricidad se incluye como extensión completa de la teoría en cuestión. La segunda conclusión de este trabajo señala el modo en que el espacio de soluciones de Palatini se proyecta de manera coincidente con el asociado a la acción de Einstein-Hilbert, demostrando que las dos acciones son cohomológicamente equivalentes. Por último, consideramos una generalización de la acción de Holst, con torsión, no metricidad y fronteras, a la que denominamos acción de Hojman-Mukku-Sayed (HMS) en honor a los promotores de una acción similar en variables métricas. Esta acción generaliza la acción de Palatini incluyendo otro término, conocido como el término de Holst. Este término está controlado por el parámetro de Barbero-Immirzi y juega un papel crucial en la cuantización de esta teoría gravitacional. Valiéndonos del bicomplejo relativo, hemos podido demostrar que el espacio covariante asociado a esta acción es, sobre soluciones, equivalente al de Palatini. También hemos podido demostrar que la formulación en variables métricas y variables de tétradas de esta acción es equivalente. Sin embargo, si no trabajamos sobre soluciones, las estructuras simplécticas no son cohomológicamente equivalentes, lo que implica que cualquier estructura que se derive de ellas puede dar lugar a formulaciones distintas, en particular las cargas asociadas a dichas estructuras. En definitiva, en este trabajo hemos sido capaces de abordar el estudio del espacio de fases covariante de tres teorías gravitacionales, incluyendo fronteras de tipo tiempo y, en dos de ellas, admitiendo torsión y no metricidad. Hemos demostrado que, añadiendo los términos de frontera adecuados a las acciones, los principios variacionales dan lugar a la misma dinámica, independientemente de la elección de variables, lo que hace que las estructuras simplécticas sean equivalentes. Además, hemos podido demostrar que las acciones de HMS, Palatini y EH son cohomológicamente equivalentes sobre soluciones, lo que significa que sus estructuras simplécticas son iguales.