Weak Hopf algebras, Matrix Product Operators and the classification of quantum phases of matter

Zusammenfassung

La comprensión de la estructura de entrelazamiento de los sistemas cuánticos de muchos cuerpos es fuerza motriz de crecientes esfuerzos teóricos en las últimas décadas. Esto ha conducido, en particular, al estudio de las redes tensoriales, un paradigma revolucionario que surgió de la colaboración entre la teoría de la información cuántica y la teoría de la materia condensada. Estos modelos, fácilmente descritos en términos de tensores locales contraídos a lo largo de una estructura de grafo subyacente, resultan sorprendentemente poderosos para describir sistemas cuánticos de muchos cuerpos en términos de sus grados de libertad de entrelazamiento, dilucidar las propiedades esenciales de las fases de la materia cuántica y caracterizar cómo se codifican las distintas simetrías, mediante el análisis de sus tensores constituyentes. Esta tesis está dedicada al estudio matemático de las redes tensoriales unidimensionales que surgen a partir de una amplia variedad de estructuras algebraicas. En este contexto, un modelo central de red tensorial unidimensional, conocidos como operadores producto de matrices (abreviadamente MPO por sus siglas en inglés), modela una amplia gama de sistemas. Entre ellas se encuentran los estados fundamentales de los Hamiltonianos locales unidimensionales con gap, los estados mixtos en sistemas cuánticos unidimensionales, los autómatas celulares cuánticos, etc. Aquí establecemos rigurosamente cómo las representaciones de estructuras algebraicas bien conocidas, desde las coálgebras hasta las álgebras de Hopf débiles, dan lugar a redes tensoriales que exhiben propiedades exóticas, y proporcionamos un diccionario entre las propiedades puramente algebraicas y las de los tensores locales. Esto nos ha permitido transferir resultados muy interesantes entre dichas dos configuraciones. Las redes tensoriales pueden utilizarse para representar una gran clase de estados topológicos y proporcionan herramientas muy prometedoras para el estudio analítico y numérico de las fases topológicas. Por ejemplo, un escenario en el que los MPOs son particularmente útiles es en el caso representar álgebras de simetrías no triviales. En esta tesis definimos las álgebras pulling-through, que aíslan las hipótesis mínimas necesarias para definir las redes tensoriales bidimensionales con orden topológico a partir de las álgebras de MPOs, y demostramos que las álgebras de Hopf débiles co-semisimples y co-pivotales son álgebras pulling-through. Dichos modelos abarcan todos los ejemplos de sistemas bidimensionales con orden topológico conocidos. Finalmente, el puente entre las dos materias nos ha proporcionado herramientas para estudiar las fases en una amplia gama de sistemas cuánticos abiertos unidimensionales. Aquí consideraremos que dos estados mixtos están en la misma fase si pueden transformarse mediante un circuito de profundidad finita de canales cuánticos locales. Para empezar a entender el diagrama de fases emergente, en esta tesis nos restringimos al estudio de los MPOs que son operadores de densidad y puntos fijos de renormalización. Estos estados surgen, por ejemplo, como fronteras de estados bidimensionales con orden topológico. Para ello, construimos primero familias de tales estados basadas en álgebras de Hopf débiles, proporcionando canales cuánticos explícitos de reescalado que definen el proceso de renormalización. Finalmente, demostramos que un subconjunto de tales estados, más concretamente aquellos construidos a partir de álgebras de Hopf, se encuentran de hecho en la fase trivial. Dada la generalidad de las técnicas y resultados de esta tesis, esperamos que resulten útiles en el futuro próximo para el estudio de las fases topológicas de la materia, tanto en una como en dos dimensiones.