PREDATION

Resumen

Esta tesis doctoral se centra en el análisis de la depredación estudiando algunos modelos paradigmáticos de presa y depredador con heterogeneidades periódicas y de algunos sistemas difusivos de presa y depredador con heterogeneidades espaciales. Por tanto, esta tesis se estructura en dos partes. La primera parte versa sobre los modelos periódicos de presa y depredador de Volterra. En ella, se presta particular atención a la obtención de resultados de multiplicidad de soluciones subarmónicas usando diferentes técnicas topológicas como la teoría de la bifurcación, el teorema de Poincaré-Birkhoff o las aplicaciones de Poincaré caóticas. Partiendo de Ding y Zanolin (1993, 1996), primero se trata la aplicación del teorema de Poincaré-Birkhoff a sistemas planos hamiltonianos no degenerados y de cómo las soluciones T-periódicas pueden llegar a perderse cuando los pesos del sistema degeneran. Por otro lado, se analiza cuál es la configuración minimal que deben satisfacer los pesos de un sistema plano hamiltoniano degenerado para obtener resultados de multiplicidad de soluciones subarmónicas mediante el teorema de Poincaré-Birkhoff. Además, se ha demostrado en esta tesis la existencia de dinámicas caóticas para toda una amplia clase de sistemas planos hamiltonianos periódicos según la síntesis geométrica de Smale (1967) y los refinamientos ulteriores desarrollados mediante la teoría de herraduras topológicas por Zanolin y sus colaboradores desde 2004. Por último, se estudia en profundidad un prototipo periódico de presa y depredador de tipo Volterra, aunque muy simple, extraordinariamente significativo, introducido por Ortega, López-Gómez y Tineo (1996) para el que se ha construido por primera vez en la literatura el diagrama global de bifurcación de todos los subarmónicos que bifurcan desde el equilibrio del sistema. Como consecuencia de los resultados de la primera parte, es evidente que la estacionalidad mediante la incorporación de coeficientes periódicos en los modelos autónomos, no espaciales y no cooperativos más clásicos, puede dar lugar a una gran complejidad dinámica y también al caos, incluso en sistemas planos donde los coeficientes están arbitrariamente próximos a ser constantes excepto en un lapso temporal arbitrariamente pequeño. En la segunda parte, con la aplicación de diversas técnicas de análisis no lineal y EDPs, basadas en el principio del máximo fuerte, se analiza un modelo general heterogéneo parabólico de presa y depredador con efectos de saturación que establece una homotopía entre los modelos clásicos de Lotka-Volterra y de Holling-Tanner. En primer lugar, el análisis se centra en la existencia, no existencia, multiplicidad y unicidad de los estados de coexistencia de un modelo híbrido espacialmente heterogéneo de presa y depredador a través de técnicas de bifurcación local y global. Así, basándonos en los modelos de Blat y Brown (1984, 1986) y Dancer (1984, 1985), posteriormente analizados en profundidad por López-Gómez y Pardo (1992, 1993, 1998) y Casal, Eilbeck y López-Gómez (1994), se estudia un modelo híbrido espacial de presa y depredador con saturación que establece una homotopía entre el sistema clásico de Lotka-Volterra y el modelo de Holling-Tanner. Tras ello, se determinan las regiones de existencia y no existencia de estados de coexistencia en términos de la estabilidad de las linealizaciones de las soluciones semitriviales positivas, y se establece la unicidad de estados de coexistencia en el modelo unidimensional cuando los efectos de saturación son suficientemente pequeños. Por el contrario, si la amplitud del término de saturación es suficientemente grande, puede probarse un resultado robusto de multiplicidad, completamente nuevo. Tal resultado establece la existencia de, al menos, dos estados de coexistencia en la región donde la atractividad local de las soluciones semitriviales positivas es diferente, con independencia de los valores del resto de coeficientes involucrados en el sistema.