Logarithmic interpolation methods, measure of non-compactness of bilinear operators and function spaces of Lorentz-Sobolev type

Resumen

Esta tesis trata tres temas cuyo vínculo común es la Teoría de Interpolación. Comenzamos estudiando los casos límites con theta igual a 0 ó 1 de las perturbaciones logarítmicas del método real de interpolación. Cuando theta está entre 0 y 1 estos métodos de interpolación quedan englobados en los métodos con parámetro funcional estudiados por Gustavsson y Persson, entre otros autores. Sin embargo, en los casos límite presentan un comportamiento singular. En dichos casos los métodos logarítmicos han sido tratados por Cobos y Segurado en el marco de pares de espacios de Banach y con el parámetro q tomando valores mayores o iguales que 1. En esta tesis estudiamos las propiedades de estos métodos cuando q toma cualquier valor mayor que 0 y los métodos se aplican a pares compatibles de espacios cuasi-Banach. En particular, establecemos fórmulas de dualidad, las propiedades de interpolación de los operadores compactos y las representaciones equivalentes de estos métodos. La segunda parte de la tesis aborda el estudio de las propiedades de interpolación de la medida de no compacidad de operadores bilineales. Las propiedades de interpolación de operadores bilineales es un problema clásico que fue considerado por Lions y Peetre para el método real y por Calderón para el método complejo. Recientemente, se ha probado que los conmutadores de operadores bilineales de Calderón-Zygmund son compactos cuando actúan entre ciertos espacios de Lebesgue. Esto motivó que algunos autores como Cobos, Fernández-Cabrera y Martínez estudiasen las propiedades de interpolación de operadores bilineales compactos por el método real. En la tesis damos versiones cuantitativas de estos resultados mediante estimaciones para la medida de no compacidad del operador bilineal interpolado. Finalmente, la tercera parte está dedicada al estudio de los espacios de Besov-Lorentz y Triebel-Lizorkin-Lorentz, espacios que surgen al remplazar el espacio de Lebesgue Lp por el espacio de Lorentz Lp,r en la definición mediante la transformada de Fourier de los espacios clásicos. Establecemos una caracterización de dichos espacios por medio de wavelets, lo que nos permite obtener algunas fórmulas de interpolación. Por medio de ellas extendemos diversas propiedades importantes de los espacios clásicos a los espacios con suavidad Lorentz. En concreto, estudiamos la invarianza de estos espacios con respecto a difeomorfismos de Rn en sí mismo, la existencia de un operador extensión lineal y continuo de los espacios definidos sobre el semiplano positivo a los espacios definidos sobre todo Rn, la existencia de multiplicadores, el estudio de algunas propiedades de multiplicación y las propiedades del operador traza sobre hiperplanos actuando en los espacios con suavidad Lorentz.