Convergence and integrability of fourier transforms

Resumen

El propósito de esta tesis es el de estudiar dos problemas diferentes para ciertas transformadas de Fourier. Primero investigamos la convergencia uniforme de integrales sinusoidales en una y dos dimensiones. Para ello, usamos una condición de monotonía general que ha sido introducida recientemente, desarrollando la correspondiente teoría acorde a nuestras necesidades. Como resultados principales, obtenemos condiciones necesarias y suficientes que las funciones monótonas generales han de satisfacer para poder asegurar la convergencia uniforme de sus respectivas transformadas sinusoidales (en una y dos dimensiones). En segundo lugar, estudiamos la convergencia puntual y uniforme de las transformadas de Hankel con pesos a través del estudio de las condiciones variacionales, de integrabilidad, y de magnitud de las funciones involucradas, con especial énfasis en las condiciones variacionales. También utilizamos la anteriormente mencionada condición de monotonía general, que nos permite traducir condiciones variacionales de las funciones en condiciones de integrabilidad o magnitud de las mismas. Damos condiciones suficientes para la convergencia puntual, mientras que para la convergencia uniforme, también obtenemos condiciones necesarias, cuando es posible. En los casos en los cuales sólo hallamos condiciones suficientes para la convergencia uniforme, demostramos la optimalidad de éstas. Finalmente, consideramos transformadas de Fourier generalizadas, y estudiamos condiciones necesarias y suficientes para poder garantizar desigualdades de normas con pesos entre las funciones y sus transformadas. Las desigualdades de normas con pesos se pueden considerar como versiones cuantitativas del principio de incertidumbre. Damos una relevancia especial a las desigualdades con pesos de tipo función potencial y las transformadas sinusoidales, cosinusoidales, de Hankel, y de Struve. También utilizamos la condición de monotonía general en este problema, lo cual nos permite obtener condiciones necesarias y suficientes menos restrictivas que garantizan las desigualdades de normas con pesos.